УНИВЕРСУМ ПЛАТОНОВСКОЙ МЫСЛИ I
Вестник СПбГУ. Сер. 6, 1994, вып. 3 (№ 20)

В. Е. Смоленков

ПЛАТОНИЗМ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Мысль о том, что математики открывают, находят, обнаруживают решение математических проблем, и что математические структуры существовали и до своего введения в научный обиход составляет неистребимую уверенность многих людей. Даже когда Земля была безводна и пуста, две волны на поверхности Мирового океана, догоняющие двух других своих товарок в сумме с последними, составили бы четыре волны, хотя и не мог человек сосчитать их, а таблиц сложения и тем более умножения не было еще на обложках тетрадей, как и самих тетрадей тоже. В каком смысле можно говорить о существовании математических объектов? Принадлежат ли они вечному миру идей, или они посредники между эйдосами и вещами, может быть, это мысли Бога или язык природы, в чем нас убеждает долгий и трудный путь естествознания? А можно отмахнуться от всего этого и признать математику исключительно плодом человеческого рассудка и фантазии. Придание онтологического статуса миру универсалий, составляет, как известно, суть платонизма или реализма. Только в этом смысле будет употребляться термин "платонизм" в дальнейшем.

Одним из наиболее ярких примеров эффективности платонизма как научной методологии является создание теории множеств немецким математиком Георгом Кантором. В конце XIX в. Кантор построил свою теорию бесконечных множеств, сознательно опираясь на понятие актуальной бесконечности, которое он понимал вполне реалистически.1 Труды Кантора и Дедекинда стимулировали в конце XIX и начале XX в. стремление ученых дать всей математике единое теоретико-множественное обоснование. Наряду с этим возникли программы сведения математики к логике (Г. Фреге, Б. Рассел). Открытие противоречий, парадоксов теории множеств поставило под сомнение эти планы и привело к отказу части математиков от понятия актуальной бесконечности и закона исключенного третьего (интуиционизм и конструктивизм). С другой стороны, возникла формалистская программа Д. Гильберта, развитие которой приостановили известные теоремы К. Гёделя.2 Реалистическая уверенность в справедливости аксиомы свертывания и онтологической реальности абстракции актуальной бесконечности сменили ограничения на образование абстракций в "теории типов" Рассела. Затем появились чисто номиналистические концепции. Гораздо позднее выяснилось, что могут существовать различные теории множеств, построенные на разнообразных, в том числе и противоположных, аксиоматиках.

Традиционно считается, что эти результаты свидетельствуют о крахе платонизма в логике и математике, однако поучительным курьезом является то, что они в некоторой степени пародируются диалогом Платона "Парменид", в особенности его второй частью, где, как известно, философ разбирает то, что в дальнейшем назовут диалектикой единого и многого. Хотя подобное сопоставление исторически некорректно, не удержусь, чтобы не провести его в торжество старинной идеи единства логического и исторического. Вполне допустимо и корректно, однако, взглянуть на взаимосвязь единого и многого у Платона более узко и истолковать её как. соотношение идеи и предметов, "причастных" к ней, или идеи множества и его элементов. Тогда знаменитые 8 гипотез диалога будут иметь прямое отношение к теории множеств и представят движение мысли, не удовлетворенной противоречивостью и абстрактностью крайнего реализма и номинализма и разбирающей промежуточные доктрины.3 Диалог завершается скептическим выводом, который передразнивает два важных результата в математике и логике: обнаружение антиномий канторовской теории и открытия К. Гёделя и П. Дж. Коэна, касающиеся недосказуемости и неопррвержимости континуум-гипотезы в рамках существующих аксиоматик.4 В отличие от философов, которые всегда лелеяли противоречия, математики избавляются от антиномий, вводя определенные ограничения в свои теории и рассматривая более узкий класс абстракций. Конструктивистский пуризм и финитные методы, тем не менее не в силах охватить собою все разделы математики и поэтому не в состоянии изгнать из этой науки платонизм. Тем более, что существуют более высокие точки зрения на универсалии, чем крайний реализм. Это прежде всего философия самого Платона и учения, исходящие из признания единства субъекта и объекта. Данная точка зрения позволяет приблизиться к объяснению того факта, что для математических теорий задним числом находятся интерпретации и фрагмент действительности, который эта теория описывает. Признавая такое единство, мы сохраняем и платонизм.


ПРИМЕЧАНИЯ
1 Кантор Г. К учению о трансфинитном//Новые идеи в математике. 1914. № 6.
2 Клини С. К. Введение в метаматематику. М., 1957.
3 Платон. Соч.: В 3 т. Т. 2. М., 1970.
4 Коэн Дж. П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М" 1969.

©СМУ, 1993 г.

Оставить комментарий

Убедитесь, что вы вводите (*) необходимую информацию, где нужно
HTML-коды запрещены